在2009年4月，16岁的库尔图瓦加入亨克，加盟亨克的第一个赛季，库尔图瓦并不是主力球员。
2010-11赛季，库尔图瓦坐稳了亨克主力的位置，共参加了40场联赛，在这40场联赛中库尔图瓦仅失39球，且有14场零封对手，同时帮助亨克赢得了比甲联赛冠军，使得亨克时隔9年再度问鼎冠军，库尔图瓦也获得了年度最佳比利时联赛守门员及亨克年度最佳球员两项殊荣。
2011年7月26日，库尔图瓦从亨克以360万英镑的价格转投到切尔西俱乐部，并签订了5年的合约。但此时切尔西俱乐部首发阵中已有世界级门将彼德·切赫，再加上库尔图瓦较为年轻的原因一直得不到上场机会，2011年7月27日，切尔西同样以360万英镑的价格将库尔图瓦租借至马德里竞技俱乐部使其接受磨练。
库尔图瓦在马德里竞技共效力三年，由2011至2014年，历经三个赛季。库尔图瓦在2011年获得年度最佳职业门将。2011-12赛季，库尔图瓦共出场52次，失球50个，零封24次。2012-13赛季，库尔图瓦共出场46次，失球35个，零封24次。
在整个赛季，库尔图瓦在参加的20场比赛中没有丢过一球，这创造了马竞俱乐部史上守门员连续不失球时间的新纪录，而库尔图瓦也获得了西甲官方最佳门将奖和萨莫拉奖。2012年8月31日，库尔图瓦在欧洲超级杯中随队对阵母队切尔西，在这场比赛中马竞以4比1的大比分击败切尔西，夺得了此次超级杯的冠军，这也是库尔图瓦首次随队获得欧洲超级杯冠军。
2013-14赛季，库尔图瓦共出场56次，失球40个，零封28次。在此次赛季库尔图瓦成功入选欧冠赛季最佳阵容，并获得2013年比利时海外最佳球员称号，入选本赛季esm年度最佳阵容。
2014年夏天，库尔图瓦结束三年外借生涯，回归切尔西俱乐部，并获得了其在马德里竞